Mécanique des milieux continus Continuum Mechanics

We consider continuous media in which contact edge forces are present. Introducing the notion of quasibalanced contact force distribution, we are able to prove the conjectures made in [Noll, 1990] concerning the representation of contact edge forces. We first generalise the Noll theorem on Cauchy postulate. Then we adapt the celebrated Cauchy tetrahedron construction to find a representation theorem for stress states. Moreover we find the relationship between double forces Germain [Germain, 1973a,b], interstitial working [Dunn, 1985] and contact edge forces. Relation entre forces d’arêtes, double forces et flux supplémentaire d’énergie induite par le principe des puissances virtuelles RésuméNous étudions la modélisation de milieux continus dans lesquels des interactions d’arêtes ont lieu. En introduisant le concept de distribution de forces quasi-équilibrée, nous prouvons les conjectures énoncées dans [Noll, 1990] concernant l’expression des forces agissant sur ces arêtes. Nous généralisons le théoreme de Noll et nous adaptons la démonstration du tétraèdre de Cauchy pour obtenir une représentation des états de contrainte. Notre travail montre le lien étroit entre double forces [Germain, 1973a,b], flux d’énergie supplémentaire [Dunn, 1985] et forces d’arêtes. Version française abrégée Il existe deux manières de modéliser un milieu continu. La première est de postuler une expression pour la puissance virtuelle des efforts intérieurs [Germain, 1973a,b] et d’obtenir ainsi la representation des états de contraintes. La deuxième originellement développée par Cauchy est de postuler une expression pour la puissance virtuelle des efforts extérieurs. Cauchy, raisonnant sur des forces, n’a en fait utilisé que la puissance de ces efforts dans des champs constants. En postulant que les forces surfaciques de contact ne dépendent que de la normale à la surface de contact, il a montré que cette dépendance est linéaire (cf. [Germain, 1973c]). Son postulat a été démontré par [Noll, 1959] sous l’hypothèse d’une densité surfacique de forces uniformement bornée (Cela reste vrai avec des hypothèses plus faibles, voir notre théorème 2). Ces résultats ne sont valables qu’en l’absence de forces d’arêtes. Notre but est de montrer comment un raisonnement analogue à celui de Cauchy permet en présence de forces d’arêtes de définir un second tenseur des contraintes, nous plaçant ainsi dans le cadre d’une théorie de second gradient. Notre hypothèse fondamentale est que la puissance virtuelle des efforts de contact est quasi-équilibrée au sens de [Noll, 1959] [Noll, 1990] (équation (2)). Nous disons que la forme ̃ (S, x) de S en x est la même que la forme de S′ en x′ si les deux surfaces coincident localement modulo une translation. Nous appelons coupure plane de S par un plan de normale u (notée Cut( ̃ (S, x), u)) la forme d’arête obtenue à l’intersection de S et du plan. Les domaines admissibles que nous considérons ont une surface admissible formée de faces C∞ et d’arêtes C∞. Les sommets sont ignorés et en tout point interieur d’une arête il existe un dièdre tangent à la surface d’angle différent de 0, π ou 2π. Un ensemble de formes contenu dans l’ensemble des formes prises par un nombre fini de surfaces admissibles est appelé ensemble de formes prescrites. De la même manière les coupures produites par un nombre fini de surfaces admissibles et de vecteurs unitaires sont appelées coupures planes prescrites. Ces définitions sont nécessaires pour énoncer des hypothèses de régularité ((i)(iv) de la partie 2) suffisament faibles pour permettre d’envisager des forces surfaciques non uniformément bornées. Les forces de contact sont représentées par des densités de surface et de ligne (eq. (1)). Dans la partie 3 (théorème 1) nous montrons que la puissance virtuelle des efforts de contact ne peut se résumer à la somme des puissances de ces forces (eq. (3). La preuve est obtenue en ha l-0 04 94 50 5, v er si on 1 23 J un 2 01 0 Author manuscript, published in "Comptes Rendus de l Académie des Sciences Series IIB Mechanics-Physics-Astronomy (1995) 7"